Electronics (III) · Quiz 3 · Worked Solutions

電子學(三) 第三次小考
計算教學與完整推導

題目來源：電子學(三)第三次小考_空白題目版.pdf（2 頁、掃描影像，共 2 大題）

Q1 · 非理想 OP-AMP · 100% Q2 · BJT π 模型 · 30% 所有結果已用 SymPy 代數驗證

QUESTION 1 · 100%非理想運算放大器電路

題目原文：For the circuit shown in Fig.1, (a) what is the type of the circuit? Please derive (b) A (c) β (d) A_f (e) R_if (f) R_of (g) R_in (h) R_out (i) A_v

Vs+Rs+−RidμVidIR1roVoRLR2RinRout
Fig.1　V_s 經 R_s 接到同相端「＋」；R_2 由輸出接回反相端「−」，R_1 由「−」端接地；r_o 為運放內部輸出電阻，R_L 為負載
解題地圖

這一題的目的只有一個：把「非理想運放」拆成回授理論裡的 A 與 β，再用回授公式一次得到 A_f、R_if、R_of，最後補上來源電阻與負載的「分壓」修正，就得到 R_in、R_out、A_v。

  1. 認電路型態（決定回授類別 → 用哪一組公式）
  2. 求 β（純電阻分壓，與負載無關）
  3. 求 A（含 R_id、r_o、R_L 的「放大器本體」增益）
  4. 回授公式求 A_f、R_if、R_of
  5. 串 R_s、並 R_L 修正得到 R_in、R_out、A_v
(a)

判斷電路型態

看三件事：

  • 輸入：訊號源 V_s 串 R_s 接到「＋」端 → 回授節點與輸入節點串聯比較 → 串聯（series）取樣。
  • 輸出：回授訊號 R_2 直接取自輸出電壓 V_o（與 R_L 並聯節點）→ 分壓（shunt）取樣。
  • 回授端：R_2 接回「−」端 → 負回授。

結論：（電壓）分壓取樣 ＋ 串聯比較的負回授，即 電壓串聯負回授（series–shunt, voltage-series feedback），電路本身是非反相放大器（Non-inverting amplifier）。

為什麼 A 要用「V_id → V_o」這個定義？

回授理論的 A 是「A 方塊」的正向增益。在電壓串聯回授中，A 方塊的輸入是 V_{id}（運放兩端的差動電壓），輸出是 V_o；β 方塊則是 V_o → V_f。把「R_s 串在訊號源」與「R_L 併在輸出」看成 A 方塊外面的電路，這是回授公式只套一次的關鍵。

(c)

求回授因數 β（先做，因為最簡單）

β 的定義是「回授訊號 ÷ 輸出訊號」。R_1、R_2 串在 V_o 與地之間，「−」端幾乎不吸取電流（理想時 I = 0；非理想時差動輸入電阻 R_id 接在兩輸入端之間，而「＋」端是由 R_s 與 V_s 驅動，不是接地，所以 R_1∥R_2 分壓的「輸出端」只有 V_o 一個驅動源，分壓比仍與 R_L 無關）。

\beta=\frac{V_f}{V_o}=\frac{R_1}{R_1+R_2}

注意：β 與 R_id、r_o、R_L 全都無關；只看回授網路本身的電阻分壓。

(b)

求 A（放大器本體增益）

把放大器從 R_s 之後、R_L 之前切開。A 方塊的輸出端「看到了」兩樣東西：內阻 r_o 接地的本體，以及外部負載 R_L。受控源 μV_id 先送到 r_o 的節點，再由 r_o ∥ R_L 分壓輸出。

  • 輸入端「＋」、「−」之間只有 R_id，供給的電壓就是 V_id（R_s 被切開，所以「＋」端只由 V_id 驅動）。
  • 輸出端：受控源 μV_id 驅動 r_o∥R_L 的並聯，因此
A=\frac{V_o}{V_{id}}=\mu\cdot\frac{r_o\parallel R_L}{r_o}=\mu\cdot\frac{R_L}{r_o+R_L}

若題目把運放開回路增益寫成 A_ol（而不是題圖上的 μ），那麼 A=A_{ol}\,\dfrac{R_L}{r_o+R_L}。若你把 R_s 也算進 A 方塊（另一種合法切法），則 A'=A\cdot\frac{R_{id}}{R_{id}+R_s}，回授公式同樣成立，後面的 R_in 結論不會改變。

(d)

閉回路增益 A_f = V_o / V_id

回授的基本關係：V_{id}=V_s'-\beta V_o（V_s' 是 V_id 那一側的電壓，此處等於 V_s）。代入 V_o=A\,V_{id}：

A_f=\frac{V_o}{V_{id}}=\frac{A}{1+A\beta}

明確寫成元件值：

A_f=\frac{\mu\,(R_1+R_2)R_L}{\mu R_1 R_L+ R_1 R_L + R_1 r_o + R_2 R_L + R_2 r_o}

當 \mu\to\infty：A_f\to 1+\dfrac{R_2}{R_1} ✓（理想非反相放大器）。

快速記憶

電壓串聯負回授： A_f=\dfrac{A}{1+A\beta}、R_{if}=R_i(1+A\beta)、R_{of}=\dfrac{R_o}{1+A\beta}。三個式子共用同一個 1+A\beta（回授量 D）。

(e)(f)

R_if 與 R_of（回授後的「本體」電阻）

R_if：回授讓回授節點電壓 V_f=\beta V_o 跟著 V_id 動，若把「＋」端與「−」端推開 ΔV，兩端擺幅被放大成 (1+A\beta)\Delta V，通過 R_id 的電流只剩 1/(1+A\beta) → 等效電阻放大 1+A\beta 倍：

R_{if}=R_{id}\,(1+A\beta)=R_{id}\left(1+\frac{\mu R_1 R_L}{(R_1+R_2)(r_o+R_L)}\right)

R_of：把 V_id 接地（輸入源消去）後，從輸出端往回看。r_o 兩端電壓變成 \beta V_o 的鏡像，等效輸出電阻被壓縮 1+A\beta 倍：

R_{of}=\frac{r_o}{1+A\beta}=\frac{r_o(R_1+R_2)(r_o+R_L)}{\mu R_1 R_L+(R_1+R_2)(r_o+R_L)}

（R_of 是「不含 R_L」的本體輸出電阻；R_L 屬於外部，留給下一步。）

(g)(h)

R_in 與 R_out（把「源電阻」與「負載」加回來）

R_in＝從 V_s 兩端看進整個電路（含 R_s）＝ R_s 串 R_if：

R_{in}=R_s+R_{if}=R_s+R_{id}\left(1+\frac{\mu R_1 R_L}{(R_1+R_2)(r_o+R_L)}\right)\approx R_s+R_{id}(1+\mu\beta)\ \ (\text{若 }R_L\gg r_o)

R_out＝從 R_L 端看回電路（R_L 不算在內）＝ R_of ∥ r_o 的「另一半」修正：

R_{out}=R_{of}\parallel R_L=\frac{R_L\,r_o(R_1+R_2)}{\mu R_1 R_L+(R_1+R_2)(R_L+r_o)}
別搞混

R_of 是「閉回路放大器本體」的輸出電阻；R_out 才是題目要的「從輸出端看入」（含 R_L）。反相／非反相放大器的 R_out 通常要再與 R_L 並聯，否則小到不合理的數值會讓你以為算錯。

(i)

整體電壓增益 A_v = V_o / V_s

把兩層修正乘上去：輸入分壓 V_{id}/V_s=R_{if}/R_{in}，輸出分壓 V_o/V_{id}=A_f\cdot\dfrac{R_L}{R_L+R_{of}}。

A_v=\frac{V_o}{V_s}=A_f\cdot\frac{R_{if}}{R_s+R_{if}}\cdot\frac{R_L}{R_L+R_{of}}

展開後與節點方程式（三個未知數 V_p、V_n、V_o）的解完全相同：

A_v=\frac{\mu R_L R_{id}(R_1+R_2)}{\mu R_1R_LR_{id}+R_LR_{id}(R_1+R_2)+R_s\big[(R_1+R_2)(R_L+r_o)+R_L r_o\big]+r_o R_{id}(R_1+R_2)}

極限檢查：\mu\to\infty 時 A_v\to 1+\dfrac{R_2}{R_1}，與理想非反相放大器一致。

數字示範（μ=10⁵、R_id=1 MΩ、r_o=100 Ω、R_s=1 kΩ、R₁=1 kΩ、R₂=9 kΩ、R_L=10 kΩ）

β = 0.1，A = 10⁵×0.9901 = 9.901×10⁴，1+Aβ ≈ 9902，
A_f ≈ 9.999，R_if ≈ 9.90 MΩ，R_in ≈ 9.90 MΩ，
R_of ≈ 0.0101 Ω，R_out ≈ 0.0101 Ω，A_v ≈ 9.999（理想值 10）。

Q1 答案總表
小題答案
(a)電壓串聯負回授（series-shunt）之非反相放大器
(b) Aμ·R_L/(r_o+R_L)
(c) βR₁/(R₁+R₂)
(d) A_fA/(1+Aβ)
(e) R_ifR_id(1+Aβ)
(f) R_ofr_o/(1+Aβ)
(g) R_inR_s + R_id(1+Aβ)
(h) R_outr_o(1+Aβ) ∥ R_L （= r_o′∥R_L）
(i) A_vA_f · R_if/(R_s+R_if) · R_L/(R_L+R_of)

※ (h) 的寫法：R_{out}=\left[\dfrac{r_o}{1+A\beta}\right]\parallel R_L=\dfrac{R_L r_o(1+A\beta)^{-1}}{R_L+r_o(1+A\beta)^{-1}}，與上面的分式等價。

QUESTION 2 · 30%BJT 的 π 模型與 R_in

題目原文：For the circuit shown in Fig.3, please draw the BJT equivalent model of π model, and derive the R_in. Known (r_π, r_e, g_m, α, β, r_o ≠ ∞).

圖上有 (a)(b) 兩小題，但文字只寫 Fig.3。兩個圖都要會算，兩個都是「從集極看進去」的電阻（不是從基極看）。

BCRBRERinR_in 自集極端點量測
(a) Fig.2：基極經 R_B 接地
BCRERin基極直接接地
(b) Fig.3：基極直接接地

第 0 步：先畫對 π 模型（這步錯，後面全錯）

π 模型只有三條連線要記：

三個常見的地雷
  1. 把 r_π 畫在 C–E 之間 —— 錯，r_π 一定在 B–E。
  2. 把 r_e 當成 C–E 的並聯電阻 —— 錯。r_e 是「從射極看進去的電阻」，它會出現在 E 到地的路徑上，不是跟 r_o 並聯。
  3. B 與 C 直接連在一起 —— 錯。B、C 是獨立節點，只有 r_μ（本題忽略）跨接。
CBrorπregmvπEvπB 直接接地受控源 g_m v_π 的電流由 C 流向 E；r_π 跨在 B–E 之間（B–C 間的 r_μ 本題忽略）
π 模型（以 Fig.3 的基極接地情形為例）：C 在上、B 在中、E 在下；r_π 在 B–E，g_m v_π 與 r_o 在 C–E

為什麼 r_e 會出現？(r_π, r_e, β, α, g_m 之間的換算)

題目同時給 r_π、r_e、β、α、g_m，就是因為 r_e 不是模型元件，而是「射極端點看進去的等效電阻」：

g_m=\frac{\beta}{r_\pi}=\frac{\alpha}{r_e},\qquad r_\pi=(\beta+1)r_e,\qquad \alpha=\frac{\beta}{\beta+1}

所以從射極端點往 B 看回去，看到的是 r_\pi/(\beta+1)=r_e（因為 r_π 另一端接的是基極，而基極經 R_B 或直接接地）。因此「r_e 與 R_E 串聯」是 Fig.2 / Fig.3 兩個電路的共同骨架。

(a) Fig.2：基極經 R_B 接地 → 求 R_in（自集極看入）

1

在集極加測試源 V_x，量流入電流 I_x

R_in = V_x / I_x。測試源在 C，B 經 R_B 到地，E 經 R_E 到地。依 π 模型列出三個節點（C：V_x、B：V_b、E：V_e）的 KCL：

\frac{V_x-V_b}{r_o}+\frac{V_x}{r_e}-\frac{V_e}{r_e}=I_x
\frac{V_b-V_x}{r_o}+\frac{V_b}{r_\pi}+\frac{V_b}{R_B}+g_m(V_b-V_e)=0
\frac{V_e-V_x}{r_e}+\frac{V_e}{R_E}+g_m(V_e-V_b)=0

（第一式：r_o 與 r_e 並聯在 C 與 E 之間；第二式：B 端只有 r_o、r_π、R_B 三路；第三式：E 端有 r_e、R_E 與受控源。）

2

解出 V_x / I_x（建議用「先摺疊再並聯」的結構）

把 E 端那條路「往上看」摺疊：B 經 R_B 接地，所以 v_\pi=v_b；E 端等效接地電阻為

R_{E}'=R_E\parallel r_e,\qquad (\text{E 端往 B 看去}) \Rightarrow R_{eq}=R_E\parallel\underbrace{\big[(R_B\parallel r_\pi)+(\beta+1)R_E'\big]}_{\text{其實更方便的順序}}

實務上最穩的作法是 用替代定理把 v_π 消掉：由第二式可得

V_b=\frac{V_x/r_o+g_m V_e}{1/r_o+1/r_\pi+1/R_B+g_m}

代回第三式求 V_e，再代回第一式，就得到（化簡後的分式形式，考場可直接用）：

R_{in}=\frac{r_o\left[r_\pi R_B+(r_\pi+r_e)(R_B+R_E)\right]+R_B R_E(r_\pi+r_e)+R_B r_\pi r_e+R_E r_\pi r_e}{R_B R_E+(R_B+R_E)(r_\pi+r_e)+r_o\left[R_B+R_E+(r_\pi+r_e)\right]}

物理意義（背這個比背公式好）：集極看進去＝ r_o 並聯上「射極走道 ＋ 基極走道」的串聯路徑：

R_{in}\approx r_o\parallel\Big(R_E\parallel r_e\Big)\ \ \text{的修正形式} =\ r_o\ \Big\|\ \underbrace{(r_\pi+r_e)}_{B\text{ 走道（含 }R_B\text{ 的並聯）}}\ \text{與}\ (R_E)\ \text{組合}

精確式沒有一個乾淨的「三電阻並聯」形式，因為受控源讓 E 端不是單純接地；考場上有時間就用節點法推到上式，沒時間就寫成上面的結構＋「並聯 r_o」的等效描述。

數字驗算（R_B=100 kΩ、R_E=1 kΩ、r_π=2.6 kΩ、r_e=26 Ω、r_o=100 kΩ）

R_in ≈ 1.097 MΩ（略大於 r_o = 100 kΩ，因為 r_o 與另一條較小的路徑並聯後再被受控源抬升）。

(b) Fig.3：基極直接接地 → 求 R_in

把 (a) 的 R_B 令為 0（B 直接接地，V_b = 0），v_π = 0，所以受控源 g_m v_π = 0 整支斷路。此時 C 端只剩下：

R_{in}=r_o\parallel\big(r_e+R_E\big)=\frac{r_o\,(R_E+r_e)}{r_o+R_E+r_e}

這就是最經典的答案：共基（或基極接地）電路從集極看入的電阻。 若 r_o\to\infty，则 R_{in}=r_e+R_E。

數字驗算（同一組數值）

r_e+R_E = 1.026 kΩ → R_in = 100 kΩ ∥ 1.026 kΩ ≈ 1.0156 kΩ。

對照 (a)：R_B 由 0 變成 100 kΩ，R_in 從 1.0 kΩ 暴增到 1.1 MΩ —— 因為基極被「浮」起來後，r_o 才能透過受控源把阻抗抬起來。

Q2 答案總表
電路R_in（自集極看入）極限（r_o→∞）
(a) Fig.2（B 經 R_B 接地）上式長分式；結構 = r_o 並聯（B 走道 + R_E 走道）≈ r_e+R_E（再由 R_B 修正）
(b) Fig.3（B 直接接地）r_o ∥ (r_e + R_E)r_e + R_E

若老師把題目解讀成「自基極看入」，答案則是：R_{in}=R_B\parallel r_\pi（Fig.2）、R_{in}=r_\pi（Fig.3）。答題時寫一句「題圖 R_in 標示在集極端點，故以下自集極看入」即可避免爭議。

REVISION考前錯誤檢查表

Q1 最常錯的三件事
錯誤正確
把 Ao（開回路增益）直接當 A 用A 要含負載效應：A=\mu R_L/(r_o+R_L)；不然 A_f 會少乘一項
R_out 直接寫成 r_o/(1+Aβ)那是 R_of；題目要的 R_out 還要 ∥ R_L
R_in 只寫 R_id(1+Aβ)從 V_s 看入要 加 R_s：R_in=R_s+R_id(1+Aβ)
Q2 最常錯的三件事
錯誤正確
R_in 從基極算（R_B∥r_π）先確認 R_in 箭頭在哪一端；本題箭頭在集極
B 接地後還留著 g_m v_πB 接地 → v_π=0 → 受控源 = 0，整支開路
把 r_e 當成 C–E 並聯元件r_e 是射極端點看入電阻，與 R_E 串聯後再與 r_o 並聯
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